सामग्री का परिचय: प्रकृति और गुण (भाग 1: सामग्री की संरचना)

प्रो आशीष गर्ग

सामग्री विज्ञान और इंजीनियरिंग विभाग

भारतीय प्रौद्योगिकी संस्थान, कानपुर

व्याख्यान - 05

आदिम और गैर-आदिम जाली

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इस व्याख्यान में हम क्रिस्टलोग्राफी पर चर्चा करेंगे। इसलिए, हम किस बारे में बात करेंगे और यह आदिम और गैर-आदिम जाली के बीच का अंतर है ।

अब, यह समझ क्रिस्टलोग्राफी को उचित स्तर तक समझने के लिए महत्वपूर्ण है। तो, मैं आपको व्याख्यान चार का संक्षिप्त देता हूं । पिछले व्याख्यान में, हम क्या एक जाली है के बारे में सीखा है ।

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इसलिए, जाली, अंतरिक्ष में बिंदुओं की नियमित व्यवस्था की एक 3 डी व्यवस्था इस शर्त के साथ कि प्रत्येक बिंदु में समान परिवेश होना चाहिए। तो, यह बिंदु जाली है, जब तक आप एक बिंदु है, यह बिंदु जाली है । इसके अलावा, यदि आप कुछ वस्तुओं जैसे परमाणुओं को रखते हैं तो यह क्रिस्टल जाली के रूप में बनाता है।

इसलिए, जाली एक अंतरिक्ष में परमाणुओं की आवधिक व्यवस्था की एक 3 डी व्यवस्था है। इसलिए, अंकों के बजाय, आपके पास परमाणुओं या अणुओं का एक समूह है। इसके अलावा, दूसरी बात जो हमने माना था, एक जाली का प्रतिनिधित्व कार्टेसियन वैक्टर जैसे वैक्टर द्वारा किया जा सकता है।

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तो, हम कहते हैं कि ये एक्स, वाई, जेड हैं, और वेक्टर आर के बराबर है एन₁एक₁ +n₂एक₂+n₃एक₃. इसलिए, n1, n2, n3 पूर्णांक हैं, जो अनुवादात्मक चरणों की संख्या निर्धारित करते हैं जो आप a1, a2, और a3 धुरी के साथ लेते हैं। वेक्टर आर होगा एन होना₁एक₁ +n₂एक₂+n₃एक₃. इसलिए यह वेक्टर यही होगा। तो, और इस के जाली मापदंडों के रूप में निर्धारित किया जा सकता है एक, बी, सी, α, β, γ. ए, बी, सी लंबाई या इकाई सेल जाली अनुवाद कर रहे हैं, और α, β, γ कोण हैं । अब मुझे अब इस श्रृंखला के अगले विषय के लिए कदम आदिम बनाम गैर आदिम जाली कहा जाता है ।

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इसलिए पहले हम प्वाइंट जाली की बात कर रहे थे। अब मैं वस्तु या परमाणु कह रहा था, तकनीकी भाषा में हम इसे एक आदर्श या आधार के रूप में कहते हैं । तो, जब आप इन दो पहलुओं को जोड़ते हैं, तो आपको जो मिलता है वह एक क्रिस्टल जाली है। तो, यह आदर्श क्या है?

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इसलिए, या तो आप एक आदर्श या आधार कह सकते हैं। इसलिए, यह परमाणु या परमाणुओं का समूह है। तो अब, मैं आपको एक सरल उदाहरण देता हूं। तो, आप इस तरह एक आवधिक जाली था । तो, अनुवाद बिल्कुल बराबर नहीं हैं, लेकिन मुझे आशा है कि आप समझते है कि मैं यहां क्या मतलब है । तो अब, मुझे परमाणु ए द्वारा इन बिंदुओं में से प्रत्येक की जगह । तो, यह ए की आवधिक जाली बन जाता है। अब, सादगी के लिए, हमने 3 डी में एक परिपत्र या गोलाकार परमाणु के रूप में एक लिया है।

अब, इसे इस तरह से करने की आवश्यकता नहीं है, परिवर्तन या संशोधन के लिए, मैं इसे एक अणु के रूप में परिवर्तित कर सकता हूं । इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि यह इस तरह का अणु था। तो, बी परमाणु, जो ए से जुड़ा हुआ है। तो, बी परमाणु, जो छोटा है । तो अब, इस मामले में, यह पूरी बात एक अणु है । तो अब, यह एक ही बिंदु पर डाल दिया है आप इसे एक अलग तरीके से कर सकते हैं ।

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बिंदु जाली से, मैं यहां क्या है, मैं एक परमाणु यहां डाल दिया, एक और परमाणु यहां, और इतने पर । यूनिट सेल रिपीट करने योग्य यूनिट सेल है। इसलिए, पिछले मामले में, रिपीट करने योग्य इकाई सेल अभी भी यह एक है, या आप इसे एक और समानांतर हो सकते हैं। हमें यह एक कहना है, लेकिन सरल और सबसे सममित के लिए, हम वर्ग एक या आयताकार एक ले । तो, ये दो सबसे छोटी इकाई कोशिकाएं हैं, सबसे छोटी इकाई कोशिकाओं के दो उदाहरण हैं।

इस मामले में, परिदृश्य क्या है? अब सबसे छोटी इकाई सेल पहले की तरह ही है, या यह एक है । नहीं, ऐसा नहीं है। आप देख सकते हैं कि यह जाली की परिभाषा का उल्लंघन करता है क्योंकि प्रत्येक जाली बिंदु में एक ही पड़ोस नहीं है। तो, सबसे छोटी जाली, इस मामले में, इस पर होता है, एक अलग रंग के साथ खींचा । तो, इस मामले में आदर्श या आधार क्या है?

आधार संयुक्त है जहां दो परमाणुओं को एक साथ रखा, इकाई सेल क्या हम अब तक जा रहा है से बड़ा हो गया है, तुम सिर्फ यह छोटे और नीले रंग एक ही आकार रह कर सकते हैं । हालांकि, अब आप एक छोटे इकाई सेल का निर्माण कर सकते हैं, यदि आपके पास परमाणुओं का एक समूह तैनात है। इसलिए अगर आप इस यूनिट सेल को देखें तो यह डम्बल राइट की तरह है। आप यूनिट सेल के कोने को कहीं भी ले जा सकते हैं।

तो, क्या यह एक डम्बल के आकार का प्रतिनिधित्व की तरह दिखेगा, तो हम कहते है कि यह मेरा लाल परमाणु है, और यह मेरा बैंगनी परमाणु कहीं यहां है । इसलिए, यह परमाणुओं या अणु का एक समूह है। यह ए बी प्रकार के अणु का एक सरल उदाहरण है। आप एक बहुत अधिक जटिल हो सकता है। तो, आप एबी हो सकता है₂एक₂जन्‍म₃आदि।

इसलिए, जिस क्षण आपके पास एक से अधिक परमाणु होते हैं। आपको रिपीट करने योग्य यूनिट सेल को बहुत सावधानी से देखने की जरूरत है। इसलिए, यह सुनिश्चित करने के लिए कि कम से कम एक फार्मूला इकाई इकाई सेल के भीतर है, इसलिए, एक इकाई सेल में कितनी फार्मूला इकाइयां हैं? आपके पास यूनिट सेल में एक फॉर्मूला यूनिट है, और आप देख सकते हैं कि एक ए और एक बी है। आप एक से अधिक के रूप में अच्छी तरह से हो सकता है, और हम देखेंगे कि बाद में, लेकिन कम से एक वहां होना चाहिए । एक के लिए है कि नंगे ंयूनतम आवश्यकता है । अब, इसलिए, इसके आधार पर, मैं इसे परिभाषित करता हूं । इसलिए, आपके पास जाली जैसी है।

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मैं सिर्फ उनमें से कुछ आकर्षित, और जब मैं इस का एक परमाणु है, एक ही तरह का है, तो मैं एक दोहराने इकाई सेल आकर्षित । यह इकाई कोशिका सबसे छोटी है, और इसमें कितने परमाणु होते हैं? केवल एक परमाणु। इसलिए इसे आदिम इकाई प्रकोष्ठ कहा जाता है।

अब, अगर मैं इस तरह एक बड़ी इकाई सेल आकर्षित कर सकते हैं, कितने परमाणुओं यह है? इसमें दो परमाणु हैं। इसलिए इसे गैर-आदिम इकाई प्रकोष्ठ कहा जाता है। आप उच्च और उच्च जा सकते हैं, चीजें सरल हैं जब आपके पास सिर्फ एक परमाणु होता है, और जब आपके पास एक से अधिक परमाणु होते हैं तो चीजें थोड़ी जटिल हो जाती हैं। इसलिए, मैंने आपको पिछली बार एक उदाहरण दिया था। इसलिए, यदि आप एक से अधिक परमाणुओं का उदाहरण लें। आप एक गैर-आदिम इकाई सेल देख सकते हैं जो अगले आदेश है गैर-आदिम इकाई सेल में परमाणुओं की संख्या दोगुनी होती है। चूंकि आदिम इकाई प्रकोष्ठ में क्षेत्र होता है, इसलिए गैर-आदिम इकाई कोशिका की मात्रा आदिम इकाई कोशिका के क्षेत्र या मात्रा से गुणा किए गए कई परमाणु हैं। तो, आप देख सकते हैं कि, वी_एनपी = 2* वी_पी.

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पहले उदाहरण में, और यहां मैं थोड़ा हरे रंग की डॉट्स खींचता हूं। यह पहले की तरह ही है, और इसमें फिर से एक आदिम इकाई सेल है, जो इस तरह है। यह आदिम इकाई कोशिका है, और इसमें एबी का एक अणु होता है। फिर, आप गैर-आदिम को आकर्षित कर सकते हैं, और इसमें एबी के 2 होंगे। अब हम चीजों को थोड़ा और अधिक मुश्किल बनाते हैं, इसके साथ मैं यह करता हूं कि मैं फिर से एक छोटी सरल जाली खींचता हूं।

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इसके अलावा, मैं हरे रंग की परमाणु यहां डाल दिया । तो, अब रिपीट करने योग्य यूनिट सेल कौन सा है? क्या यह रिपीट करने योग्य यूनिट सेल है? हां, यह नहीं है, है ना? इस बारे में क्या? इसलिए ऐसा नहीं है। तो, आप सीधे पता चल जाएगा, यह बहुत सीधे यहां नहीं है, इस बारे में क्या? यह सबसे छोटी यूनिट सेल है, जिसका मतलब है कि यह आदिम जाली है। इसलिए यह आदिम जाली है। इसलिए आदिम इकाई प्रकोष्ठ में अणुओं के मामले में एक सूत्र इकाई को नियंत्रित करना जरूरी नहीं है। इसमें एक से अधिक सूत्र इकाई हो सकती है, और यह एक दूसरे के लिए अणुओं के सापेक्ष अभिविन्यास पर निर्भर करता है। और फिर आपको यह पता लगाना होगा कि सबसे छोटी रिपीट यूनिट सेल कौन सी है। इसलिए, फिर से, आप इसे थोड़ा और जटिल बना सकते हैं; इसके कई उदाहरण हैं । इसलिए, ये कुछ ऐसे दृष्टांत हैं जिन्हें आप दूर कर सकते हैं।

अब, मैं आपको इन आदिम और गैर-आदिम जाली के कुछ उदाहरण थोड़े त्वरित तरीके से देता हूं ।

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हमने कहा कि आकृति या आधार एक परमाणु या परमाणुओं का एक समूह है जो प्रत्येक जाली बिंदु से जुड़ा हुआ है। और मैं तुंहें एक प्रदर्शन दिया जब तुम एक अणु डाल एक परमाणु की जगह है कि चीजें काफी अलग हो सकता है । आदिम एक गैर-आदिम इकाई प्रकोष्ठ की परिभाषा समान नहीं रहती है।

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हमने कहा कि तुम एक वर्ग जाली हो सकता है, जैसे कि तुम क्या बाईं ओर देखते हैं, और फिर यह एक आदर्श हो सकता है । इसलिए, यह एक बहुत अधिक जटिल आकृति है, और वहां आपके पास सिर्फ दो परमाणुओं के रूप के बजाय तीन परमाणु हैं। एक बहुत सममित वस्तु होने की आवश्यकता नहीं है कर सकते हैं? यह असममित वस्तुएं हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यह कुछ ऐसा हो सकता है कि आपके पास ट्रॉली या अन्य प्रकार की तरह पैटर्न भी हो सकता है। इसलिए, यह एक ट्रॉली जाली की तरह है, और एकमात्र शर्त यह है कि इन सभी परमाणुओं या परमाणुओं या वस्तुओं के समूहों को इस तरह से व्यवस्थित किया जाना चाहिए। इसलिए, वे आवधिक जाली बनाते हैं। तो, कि आप देखते हैं कि जाली अंक में से प्रत्येक के पड़ोस के बारे में एक अंतर है।

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तो उदाहरण के लिए, यह एक जाली है, आईआईटी दिल्ली से प्रोफेसर राजेश प्रसाद ने मुझे दिया। इसलिए, आप दिलों की यह आवधिक व्यवस्था कर सकते हैं।

अब दिलों की यह आवधिक व्यवस्था जाली की तरह है। अगर आप हर अंक को दिल से बदल देते हैं तो यह लव पैटर्न बन जाता है, कुछ ऐसा ही होता है।

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और आप एक बंदर पैटर्न हो सकता है, और आप एक कुत्ते पैटर्न आप सभी कुत्तों या बंदरों प्रदान की है इस तरह के एक फैशन में व्यवस्था कर रहे है ताकि आप एक आवधिक एक कर सकते हैं ।

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तो, यह उदाहरण है कि आप दिल की एक अलग व्यवस्था के साथ एक आदिम जाली कैसे हो सकता है इस तरह के एक फैशन में व्यवस्था की है। इसलिए, प्रत्येक वैकल्पिक हृदय एक ही अभिविन्यास में है। तो, एक परिणाम के रूप में, आप क्या है जब आप अब यह जाली का उपयोग कर प्रतिनिधित्व करते हैं, आदर्श यह है । इसलिए, परिणामस्वरूप, आवधिक जाली वैसी नहीं रहती है जो आपने पहले की थी, आपको इसे अलग ढंग से परिभाषित करने की आवश्यकता है।

(स्लाइड समय देखें: 19:35)

इसलिए, मैं आपको दिखाऊंगा कि अब आप ऐसा कैसे करते हैं ।

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तो, यह है, उदाहरण के लिए, कुत्तों का सेट जो खड़े हैं, आप इस तरह एक आवधिक जाली बना सकते हैं । इसके अलावा, यह इकाई सेल है जिसे आप हरे रंग की खींचते हैं। इसलिए, ये सभी आदिम इकाई कोशिकाएं हैं; हालांकि, दाईं ओर इस छवि में, मैंने प्रत्येक बारी वाले जानवर के अभिविन्यास को बदल दिया है।

तो, उदाहरण के लिए, मुझे सिर्फ दो तीर लाने दो। तो, इस कुत्ते को खड़ा है, और हर वैकल्पिक एक उल्टा खड़ा है । तो, यहां अब, यदि आप आवधिक जाली खींचना चाहते हैं, तो बाईं ओर यहां आवधिक जाली नहीं हो सकती । तो अब, यहां जब आप एक जाली बनाना चाहते है अब बड़ा है, जो एक उल्टा ऊपरवाला जानवर और एक नकारात्मक जानवर का सामना करना पड़ रहा है का सामना करना पड़ शामिल है ।

तो, मूल रूप से, पिछले मामले में फार्मूला इकाई यह जानवर एक जानवर है। इस मामले में, एक सूत्र इकाई 2 जानवरों का एक समूह है। एक खड़ा है, और एक नीचे खड़ा है । परमाणुओं के साथ ऐसा ही होता है। तो, आप एक जानवर पर विचार कर सकते हैं जो एक प्रकार के परमाणु की तरह खड़ा है, और जो जानवर उल्टा खड़ा है वह एक और प्रकार का परमाणु ठीक है। तो, मूल रूप से आपको क्या करना है कि आप प्रत्येक बिंदु जाली में बिंदु को आधार के लिए आकृति के साथ बदलें। इसके अलावा, क्रिस्टल संरचनाओं के मामले में, हम परमाणुओं या परमाणुओं या अणुओं के समूहों के साथ ऐसा करते हैं।

(स्लाइड समय देखें: 21:15)

यह एस्चर द्वारा एक बहुत ही प्रसिद्ध तस्वीर है, जिसमें हवा, पानी और पृथ्वी को दर्शाया गया है। इसलिए आप देख सकते हैं कि यहां तीन तरह की प्रजातियां हैं। मछली है, बल्ला है, और आपके पास छिपकली है। इसलिए, ये तीनों जानवर ब्रह्मांड वायु, जल और पृथ्वी के तीन घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अब, इस पैटर्न में, आप आदिम जाली पता कर सकते हैं, सबसे पहले? इसलिए, मैंने यहां एक मुद्दा रखा है, यहां हरे रंग में एक है । और फिर मैं सभी जगह हरे रंग की बातें डाल दिया । इसलिए, आप देख सकते हैं कि इसके साथ एक निश्चित आवधिकता है। प्रत्येक हरे रंग की बिंदु में ये तीन आवक दिखने वाली मछलियां, तीन चमगादड़ और तीन छिपकलियां होती हैं । इसलिए अब तीन छिपकलियां जो दिखाई नहीं दे रही हैं। इसलिए, आप क्या कर सकते हैं कि आप इस बिंदु को कहीं और ले जा सकते हैं।

तो, आप कह सकते हैं कि क्रिस्टल के परिणामस्वरूप हर आवधिक पैटर्न में इससे जुड़ी एक अनूठी जाली होती है। इसलिए, जब आप अब इससे बाहर एक जाली बनाते हैं, यदि आप पहले वाले के पास जाते हैं, तो इस मामले में जाली क्या है?

हालांकि, जैसा कि मैंने कहा, जाली के बिंदु पर वहां होने की जरूरत नहीं है । तो, इस मामले में अब क्या आदर्श है? क्या आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि आदर्श क्या है? आदर्श यह है कि कितने चमगादड़ करता है इसमें तीन चमगादड़ होते हैं । आपके पास कितनी छिपकलियां हैं? तीन, और आपके पास कितनी मछलियां हैं? क्या आपके पास तीन मछलियां हैं? यहां कुछ ऐसे भी हैं, जिन्हें काटा जा रहा है, लेकिन कुछ ऐसे भी हैं जो यहां से प्रवेश कर रहे हैं। इसलिए कुल मिलाकर वे तीन मछलियां बनाते हैं । इसलिए कुल मिलाकर एक यूनिट सेल के भीतर आपके पास तीन मछलियां, तीन छिपकली और तीन चमगादड़ होते हैं । इस मामले में यह आदर्श है।

आप विचार कर सकते हैं प्रत्येक छिपकली एक परमाणु है, प्रत्येक चमगादड़ एक परमाणु और एक परमाणु के रूप में प्रत्येक मछली है। इसलिए तीन परमाणु। तो, प्रत्येक जाली अब तीन परमाणुओं ए बी और सी है । उनमें से 3 क्यों? क्योंकि उनमें से सभी 3 एक दूसरे के संबंध में अलग तरह से उन्मुख हैं ।

तो, नतीजतन, प्रत्येक आदिम जाली में तीन प्रजातियां हैं। तो, आप इस जाली को जहां चाहें स्थानांतरित कर सकते हैं, और फिर भी, यह एक आवधिक जाली बनी हुई है। मैं यहां केंद्र डाल सकते हैं, और यह अभी भी एक ही रहता है । अगर मैं अब जाली खींचता हूं, तो जाली यह होगी। इसलिए इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप यूनिट सेल कॉर्नर कहां रखते हैं। इसमें अभी भी तीन मछलियां, तीन चमगादड़ और तीन छिपकलियां हैं ।

तो, यह सिर्फ जाली क्या हो सकता है की एक उदाहरण है ।

(स्लाइड समय देखें: 24:56)

इसलिए, यदि मैं वहां से पैटर्न को हटा देता हूं तो यह एक प्रकार का पैटर्न है। इस तरह यह कैसा दिखेगा ।

(स्लाइड समय देखें: 25:00)

मैं आदिम और गैर-आदिम इकाई प्रकोष्ठ के बारे में बात कर रहा था । आदिम इकाई सेल में एक जाली बिंदु होता है। तकनीकी रूप से बोल रहा हूं, प्रत्येक परमाणु, इस मामले में, प्रत्येक जानवर एक जाली बिंदु है।

हालांकि, और उनमें से प्रत्येक के लिए, जाली बिंदु समान है। दूसरी ओर, यदि आप गैर-आदिम इकाई सेल को देखें, उदाहरण के लिए, यह गैर-आदिम इकाई सेल है। इसलिए सूचक के पास जाएं। इसलिए, यह गैर-आदिम इकाई सेल होगा, और इसमें 2 जाली अंक होते हैं। यहां इस मामले में फिर से, एक आदिम इकाई सेल में एक जाली बिंदु होते हैं; हालांकि, एक जाली बिंदु अब 2 परमाणुओं से मिलकर बना हुआ है; 2 जानवरों के एक और बी, उल्टा और नकारात्मक पक्ष ऊपर । इसके अलावा, गैर आदिम एक चार जानवरों, दो उल्टा और दो नकारात्मक पक्ष शामिल होंगे । आदिम और गैर-आदिम इकाई कोशिकाओं के बीच यही अंतर है ।

इसलिए, एक गैर-आदिम इकाई सेल की मात्रा रूपांकनों की संख्या, या जाली अंकों की संख्या के बराबर होगी, जो आदिम इकाई सेल की मात्रा से गुणा होगी। जाली अंकों की संख्या अधिक सटीक परिभाषाएं हैं क्योंकि जाली अंक एक परमाणु हो सकते हैं; यह परमाणुओं का एक समूह हो सकता है।

(स्लाइड समय देखें: 26:16)

तो, यह वही है जो जाली की परिभाषा के रूप में संक्षेप किया जा सकता है । आप एक आवधिक पैटर्न में अपने आदिम जाली लिखा हो सकता है।

तो, आप देख सकते हैं कि पहले 2 मामलों में, आपने यूनिट सेल के कोने को जाली बिंदुओं पर खुद रखने के लिए चुना है। हालांकि, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप यूनिट सेल के भीतर कहीं भी यूनिट सेल के कोने को पैटर्न के भीतर रख सकते हैं जब तक आपके पास यूनिट सेल के भीतर एक जाली बिंदु है। यहां जाली अंक साझा किए जाते हैं, और आपके पास यूनिट सेल के भीतर एक जाली बिंदु है। यह एक गैर-आदिम इकाई सेल है। इसी तरह, आप आदिम इकाई कोशिकाओं के विभिन्न संभव विकल्प बनाते हैं, जो आप कर सकते हैं, गैर-आदिम इकाई कोशिकाओं के कई विकल्प भी।

(स्लाइड समय देखें: 27:13)

(स्लाइड समय देखें: 27:14)

ये कुछ पैटर्न हैं जो प्रदान किए जाते हैं और आदिम इकाई कोशिकाओं और गैर-आदिम इकाई कोशिकाओं को आकर्षित करने की कोशिश करते हैं और उनके क्षेत्रों की तुलना जाली बिंदुओं की तुलना करते हैं। इनमें से प्रत्येक मामले में आकृति का निर्धारण करने से बनी जाली बिंदु क्या है? तो, ये सिर्फ दो उदाहरण है कि मैं यहां दे रहा हूं, लेकिन आप पैटर्न के लिए गूगल कर सकते हैं ।

तो, मुझे अब इस बिंदु पर संक्षेप में, आप एक बिंदु जाली है, और जब आप अंक और परमाणुओं या परमाणुओं या अणुओं के समूह द्वारा बिंदु जाली की जगह, तुम एक क्रिस्टल संरचना बनाते हैं । अब आप एक परमाणु के मामले में संबद्ध कर सकते हैं पर निर्भर करता है, यह आसान है, और प्रत्येक छोटी इकाई सेल एक परमाणु से मिलकर होगा, और यह एक आदिम इकाई सेल कहा जाएगा ।

इसलिए इस मामले में जाली बिंदु एक परमाणु से जुड़ा हुआ है। जब आप एक परमाणु को कई परमाणुओं, कई विभिन्न प्रकार के परमाणुओं या विभिन्न अणुओं द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं तो चीजें बदल जाएंगी। वहीं एक-दूसरे के संबंध में परमाणुओं की सापेक्ष स्थिति का सापेक्ष अभिविन्यास यह निर्धारित करेगा कि आपके पास किस प्रकार की आदिम जाली होगी? और कितने जाली अंक? कितने परमाणु या अणु एक जाली बिंदु के साथ जुड़े होंगे? लेकिन यह भी संभव है कि एक जाली बिंदु में एक से अधिक अणु हो सकते हैं । इसके कई उदाहरण हैं । इसलिए, अनिवार्य रूप से, यह अणुओं की सापेक्ष स्थिति से नियंत्रित होगा; वे एक आवधिक पैटर्न बनाते हैं। यह अंतिम टेकअवे है । इसलिए अब हम यहां रुकेंगे । इसके अलावा, अब हम अगले व्याख्यान है, जो इकाई कोशिकाओं और क्रिस्टल संरचनाओं पर है जाना होगा ।